Inglés (Original)
In your schooldays most of you who read this book made acquaintance with the noble building of Euclid’s geometry, and you remember—perhaps with more respect than love—the magnificent structure, on the lofty staircase of which you were chased about for uncounted hours by conscientious teachers. By reason of our past experience, you would certainly regard everyone with disdain who should pronounce even the most out-of-the-way proposition of this science to be untrue. But perhaps this feeling of proud certainty would leave you immediately if some one were to ask you: “What, then, do you mean by the assertion that these propositions are true?” Let us proceed to give this question a little consideration.
Geometry sets out form certain conceptions such as “plane,” “point,” and “straight line,” with which we are able to associate more or less definite ideas, and from certain simple propositions (axioms) which, in virtue of these ideas, we are inclined to accept as “true.” Then, on the basis of a logical process, the justification of which we feel ourselves compelled to admit, all remaining propositions are shown to follow from those axioms, i.e. they are proven. A proposition is then correct (“true”) when it has been derived in the recognised manner from the axioms. The question of “truth” of the individual geometrical propositions is thus reduced to one of the “truth” of the axioms. Now it has long been known that the last question is not only unanswerable by the methods of geometry, but that it is in itself entirely without meaning. We cannot ask whether it is true that only one straight line goes through two points. We can only say that Euclidean geometry deals with things called “straight lines,” to each of which is ascribed the property of being uniquely determined by two points situated on it. The concept “true” does not tally with the assertions of pure geometry, because by the word “true” we are eventually in the habit of designating always the correspondence with a “real” object; geometry, however, is not concerned with the relation of the ideas involved in it to objects of experience, but only with the logical connection of these ideas among themselves.
It is not difficult to understand why, in spite of this, we feel constrained to call the propositions of geometry “true.” Geometrical ideas correspond to more or less exact objects in nature, and these last are undoubtedly the exclusive cause of the genesis of those ideas. Geometry ought to refrain from such a course, in order to give to its structure the largest possible logical unity. The practice, for example, of seeing in a “distance” two marked positions on a practically rigid body is something which is lodged deeply in our habit of thought. We are accustomed further to regard three points as being situated on a straight line, if their apparent positions can be made to coincide for observation with one eye, under suitable choice of our place of observation.
If, in pursuance of our habit of thought, we now supplement the propositions of Euclidean geometry by the single proposition that two points on a practically rigid body always correspond to the same distance (line-interval), independently of any changes in position to which we may subject the body, the propositions of Euclidean geometry then resolve themselves into propositions on the possible relative position of practically rigid bodies.1 Geometry which has been supplemented in this way is then to be treated as a branch of physics. We can now legitimately ask as to the “truth” of geometrical propositions interpreted in this way, since we are justified in asking whether these propositions are satisfied for those real things we have associated with the geometrical ideas. In less exact terms we can express this by saying that by the “truth” of a geometrical proposition in this sense we understand its validity for a construction with rule and compasses.
Of course the conviction of the “truth” of geometrical propositions in this sense is founded exclusively on rather incomplete experience. For the present we shall assume the “truth” of the geometrical propositions, then at a later stage (in the general theory of relativity) we shall see that this “truth” is limited, and we shall consider the extent of its limitation.
Español
En sus años escolares, la mayoría de ustedes que leen este libro se familiarizaron con el noble edificio de la geometría de Euclides, y recuerdan —quizás con más respeto que cariño— la magnífica estructura, en cuya elevada escalera fueron perseguidos durante incontables horas por profesores concienzudos. Debido a nuestra experiencia pasada, seguramente mirarían con desdén a cualquiera que pronunciara incluso la proposición más extravagante de esta ciencia como falsa. Pero tal vez este sentimiento de orgullosa certeza los abandonaría de inmediato si alguien les preguntara: “¿Qué quiere decir entonces con la afirmación de que estas proposiciones son verdaderas?”. Procedamos a considerar un poco esta pregunta.
La geometría parte de ciertas concepciones como “plano”, “punto” y “línea recta”, con las que podemos asociar ideas más o menos definidas, y de ciertas proposiciones simples (axiomas) que, en virtud de estas ideas, estamos inclinados a aceptar como “verdaderas”. Luego, sobre la base de un proceso lógico, cuya justificación nos sentimos obligados a admitir, se demuestra que todas las demás proposiciones se derivan de esos axiomas, es decir, se demuestran. Una proposición es entonces correcta (“verdadera”) cuando se ha derivado de la manera reconocida de los axiomas. La cuestión de la “verdad” de las proposiciones geométricas individuales se reduce así a la de la “verdad” de los axiomas. Ahora bien, se sabe desde hace mucho tiempo que la última pregunta no solo es inabordable por los métodos de la geometría, sino que en sí misma carece totalmente de sentido. No podemos preguntar si es cierto que solo una línea recta pasa por dos puntos. Solo podemos decir que la geometría euclidiana trata con cosas llamadas “líneas rectas”, a cada una de las cuales se le atribuye la propiedad de estar únicamente determinada por dos puntos situados en ella. El concepto “verdadero” no concuerda con las afirmaciones de la geometría pura, porque por la palabra “verdadero” estamos acostumbrados a designar siempre la correspondencia con un objeto “real”; la geometría, sin embargo, no se ocupa de la relación de las ideas que implica con los objetos de la experiencia, sino solo con la conexión lógica de estas ideas entre sí.
No es difícil entender por qué, a pesar de esto, nos sentimos obligados a llamar “verdaderas” a las proposiciones de la geometría. Las ideas geométricas corresponden a objetos más o menos exactos en la naturaleza, y estos últimos son sin duda la causa exclusiva de la génesis de esas ideas. La geometría debería abstenerse de tal curso, para dar a su estructura la mayor unidad lógica posible. La práctica, por ejemplo, de ver en una “distancia” dos posiciones marcadas en un cuerpo prácticamente rígido es algo que está profundamente arraigado en nuestro hábito de pensamiento. Estamos acostumbrados además a considerar que tres puntos están situados en una línea recta, si sus posiciones aparentes pueden hacerse coincidir para la observación con un ojo, bajo una elección adecuada de nuestro lugar de observación.
Si, en cumplimiento de nuestro hábito de pensamiento, ahora complementamos las proposiciones de la geometría euclidiana con la única proposición de que dos puntos en un cuerpo prácticamente rígido siempre corresponden a la misma distancia (intervalo de línea), independientemente de cualquier cambio de posición al que podamos someter el cuerpo, las proposiciones de la geometría euclidiana se resuelven entonces en proposiciones sobre la posible posición relativa de los cuerpos prácticamente rígidos.1 La geometría que se ha complementado de esta manera debe entonces tratarse como una rama de la física. Ahora podemos preguntar legítimamente por la “verdad” de las proposiciones geométricas interpretadas de esta manera, ya que estamos justificados para preguntar si estas proposiciones se cumplen para las cosas reales que hemos asociado con las ideas geométricas. En términos menos exactos, podemos expresar esto diciendo que por la “verdad” de una proposición geométrica en este sentido entendemos su validez para una construcción con regla y compás.
Por supuesto, la convicción de la “verdad” de las proposiciones geométricas en este sentido se basa exclusivamente en una experiencia bastante incompleta. Por el momento, asumiremos la “verdad” de las proposiciones geométricas, luego en una etapa posterior (en la teoría general de la relatividad) veremos que esta “verdad” es limitada, y consideraremos el alcance de su limitación.
Coreano
이 책을 읽는 여러분 중 대부분은 학창 시절 유클리드 기하학의 고귀한 건축물과 친분을 맺었을 것이며, 아마도 사랑보다는 존경심을 가지고, 숙련된 선생님들에 의해 수많은 시간 동안 쫓겨 다녔던 웅장한 구조물을 기억할 것이다. 과거의 경험으로 인해, 여러분은 이 과학의 가장 엉뚱한 명제조차 거짓이라고 선언하는 사람을 경멸할 것이다. 그러나 아마도 이러한 자랑스러운 확신감은 누군가가 “그렇다면, 이러한 명제가 참이라고 주장하는 것은 무엇을 의미하는가?”라고 묻는 순간 사라질 것이다. 이 질문을 좀 더 자세히 살펴보자.
기하학은 우리가 더 많거나 덜 명확한 아이디어와 연관 지을 수 있는 “평면”, “점”, “직선”과 같은 특정 개념과, 이러한 아이디어에 따라 “참”으로 받아들이고 싶은 특정 간단한 명제(공리)를 설정한다. 그런 다음, 우리가 인정해야 할 필요성을 느끼는 논리적 과정을 기반으로, 나머지 모든 명제가 그 공리에서 도출되는 것으로 나타나며, 즉 증명된다. 따라서 명제는 공리에서 인정된 방식으로 도출되었을 때 정확하다(“참”이다). 개별 기하학적 명제의 “진실성”에 대한 질문은 따라서 공리의 “진실성”에 대한 질문으로 축소된다. 이제 오랫동안 마지막 질문은 기하학의 방법으로는 대답할 수 없을 뿐만 아니라, 그 자체로 의미가 없다는 것이 알려져 있다. 두 점을 지나는 직선은 하나뿐이라는 것이 참인지 물어볼 수 없다. 우리는 유클리드 기하학이 “직선”이라고 불리는 것들로 다루며, 각각은 그 위에 있는 두 점에 의해 고유하게 결정되는 속성을 부여받았다고만 말할 수 있다. “참”이라는 개념은 순수 기하학의 주장과 일치하지 않는데, 왜냐하면 우리는 “참”이라는 단어로 결국 항상 “실제” 객체와의 일치를 지정하는 습관이 있기 때문이다. 그러나 기하학은 그 안에 포함된 아이디어와 경험적 객체의 관계가 아니라, 이러한 아이디어들 간의 논리적 연결에만 관심이 있다.
이러한 사실에도 불구하고 우리가 기하학의 명제를 “참”이라고 부르고 싶어하는 이유를 이해하는 것은 어렵지 않다. 기하학적 아이디어는 자연에서 더 많거나 덜 정확한 객체에 해당하며, 이러한 객체는 의심할 여지 없이 그러한 아이디어의 발생에 대한 배타적인 원인이다. 기하학은 그 구조에 가능한 한 큰 논리적 통일성을 부여하기 위해 그러한 과정을 삼가야 한다. 예를 들어, 실질적으로 강체인 두 개의 표시된 위치를 “거리”로 보는 것은 우리의 사고 습관에 깊이 자리 잡고 있다. 우리는 또한 적절한 관찰 위치를 선택하면, 세 점의 겉보기 위치를 한 눈으로 관찰할 때 일치시킬 수 있다면, 그 세 점이 직선 위에 있다고 생각하는 데 익숙하다.
우리의 사고 습관에 따라, 이제 우리는 유클리드 기하학의 명제에 실질적으로 강체인 두 점은 항상 동일한 거리(선 간격)에 해당하며, 우리가 그 몸체에 가할 수 있는 위치 변화와 무관하다는 단일 명제를 추가하면, 유클리드 기하학의 명제는 실질적으로 강체의 가능한 상대적 위치에 대한 명제로 해석된다. 이렇게 보완된 기하학은 물리학의 한 분야로 취급되어야 한다. 이제 우리는 기하학적 명제가 이러한 방식으로 해석될 때 “진실성”에 대해 합법적으로 질문할 수 있는데, 왜냐하면 우리는 이러한 명제가 기하학적 아이디어와 연관시킨 실제 사물에 대해 만족하는지 질문할 수 있기 때문이다. 덜 정확한 용어로, 우리는 이러한 의미에서 기하학적 명제의 “진실성”을 컴퍼스와 자를 사용한 구성에 대한 유효성으로 이해한다고 말할 수 있다.
물론 이러한 의미에서 기하학적 명제의 “진실성”에 대한 확신은 매우 불완전한 경험에만 근거한다. 현재 우리는 기하학적 명제의 “진실성”을 가정할 것이며, 그 후 일반 상대성 이론에서 이러한 “진실성”이 제한적임을 알게 될 것이며, 그 제한의 범위를 고려할 것이다.
Español hecho por DeepL
La mayoría de los que leéis este libro conocisteis en vuestra época escolar el noble edificio de la geometría de Euclides, y recordáis -quizá con más respeto que amor- su magnífica estructura, por cuya elevada escalera os persiguieron durante incontables horas concienzudos profesores. Por nuestra experiencia pasada, sin duda mirarías con desdén a cualquiera que declarase falsa incluso la proposición más descabellada de esta ciencia. Pero tal vez este sentimiento de orgullosa certeza os abandonaría inmediatamente si alguien os preguntara: “¿Qué queréis decir, pues, con la afirmación de que estas proposiciones son verdaderas?”. Procedamos a considerar un poco esta cuestión.
La geometría parte de ciertas concepciones tales como “plano”, “punto” y “línea recta”, a las que somos capaces de asociar ideas más o menos definidas, y de ciertas proposiciones simples (axiomas) que, en virtud de estas ideas, nos inclinamos a aceptar como “verdaderas”. Luego, sobre la base de un proceso lógico cuya justificación nos sentimos obligados a admitir, se demuestra que todas las demás proposiciones se siguen de esos axiomas, es decir, se demuestran. Una proposición es entonces correcta (“verdadera”) cuando se ha derivado de la manera reconocida de los axiomas. La cuestión de la “verdad” de las proposiciones geométricas individuales se reduce así a la de la “verdad” de los axiomas. Ahora bien, hace tiempo que se sabe que esta última cuestión no sólo no puede responderse con los métodos de la geometría, sino que carece por completo de sentido. No podemos preguntar si es cierto que sólo una línea recta pasa por dos puntos. Sólo podemos decir que la geometría euclidiana trata de cosas llamadas “líneas rectas”, a cada una de las cuales se atribuye la propiedad de estar determinada unívocamente por dos puntos situados sobre ella. El concepto “verdadero” no concuerda con las afirmaciones de la geometría pura, porque con la palabra “verdadero” acabamos por tener la costumbre de designar siempre la correspondencia con un objeto “real”; la geometría, sin embargo, no se ocupa de la relación de las ideas implicadas en ella con los objetos de la experiencia, sino sólo de la conexión lógica de estas ideas entre sí.
No es difícil comprender por qué, a pesar de ello, nos sentimos obligados a llamar “verdaderas” a las proposiciones de la geometría. Las ideas geométricas corresponden a objetos más o menos exactos de la naturaleza, y estos últimos son sin duda la causa exclusiva de la génesis de esas ideas. La geometría debería abstenerse de tal proceder, a fin de dar a su estructura la mayor unidad lógica posible. La práctica, por ejemplo, de ver en una “distancia” dos posiciones marcadas sobre un cuerpo prácticamente rígido es algo que está profundamente arraigado en nuestro hábito de pensamiento. Además, estamos acostumbrados a considerar tres puntos como situados en una línea recta, si sus posiciones aparentes pueden hacerse coincidir para la observación con un solo ojo, bajo una elección adecuada de nuestro lugar de observación.
Si, siguiendo nuestro hábito de pensamiento, completamos ahora las proposiciones de la geometría euclidiana con la única proposición de que dos puntos de un cuerpo prácticamente rígido corresponden siempre a la misma distancia (intervalo de línea), independientemente de cualquier cambio de posición al que podamos someter al cuerpo, las proposiciones de la geometría euclidiana se convierten entonces en proposiciones sobre la posible posición relativa de los cuerpos prácticamente rígidos.1 La geometría que se ha completado de esta manera debe tratarse entonces como una rama de la física. Ahora podemos preguntarnos legítimamente por la “verdad” de las proposiciones geométricas interpretadas de este modo, ya que está justificado que nos preguntemos si estas proposiciones se cumplen para aquellas cosas reales que hemos asociado con las ideas geométricas. En términos menos exactos podemos expresarlo diciendo que por “verdad” de una proposición geométrica en este sentido entendemos su validez para una construcción con regla y compás.
Por supuesto, la convicción de la “verdad” de las proposiciones geométricas en este sentido se basa exclusivamente en una experiencia bastante incompleta. Por el momento supondremos la “verdad” de las proposiciones geométricas, luego en una etapa posterior (en la teoría general de la relatividad) veremos que esta “verdad” es limitada, y consideraremos el alcance de su limitación.